6 примера за сложни лихвени функции. Шест функции на сложната лихва - не е толкова трудно! Вера Александровна Волнова, сертифициран оценител на недвижими имоти от ROO, оценител на TEGoVA
17.03.2015 11:00 9922
Стандартни функции за сложна лихва
Използването на стандартни функции за сложна лихва дава възможност да се изчисли стойността на всеки от елементите, характеризиращи паричните потоци, разпределени във времето - цена, плащане, време, лихва - при условие, че другите елементи са известни.
По правило говорим за 6 функции на сложна лихва:
- натрупаната сума на единицата (нейната бъдеща стойност),
- натрупване на единица за период,
- принос към формирането на компенсационния фонд,
- реверсия (текуща стойност на единица),
- настоящата стойност на обикновен анюитет,
- амортизационна вноска на единица
Тъй като тези функции се използват толкова широко и често, са разработени стандартни таблици, които включват предварително изчислени сложни лихвени фактори. В този контекст факторът е едно от две или повече числа, които, когато се умножат, дават даден резултат. Всички тези фактори са създадени с помощта на основната формула (1 + i)n, която описва натрупаната сума на единица, и всъщност са производни на този фактор.
Бъдеща единична стойност.
Бъдещата стойност на единица е функция, която определя нейната натрупана сума след n периода, ако нормата на възвръщаемост на капитала е i. Функцията предполага, че възвръщаемостта на капитала, получена през периода, заедно с първоначалния капитал, формира базата, от която ще се определи възвръщаемостта на капитала през следващия период.
Изчислява се по формулата:
където FV е бъдеща стойност;
PV - текуща стойност;
i - норма на дохода;
FVF(i;n) = (1 + i)n - фактор на бъдещата стойност на единицата (натрупана сума).
Използвайки тази функция, можете да изчислите бъдещата стойност на парична сума въз основа на текущата й стойност, нормата на възвръщаемост на капитала и продължителността на периода на натрупване.
В момента цената на един парцел е 1000 долара, а доходността е 14%. Очаква се да бъде продаден след две години. Въпреки това нито неговите характеристики, нито пазарните условия ще се променят. В този случай бъдещата стойност на парцела ще бъде равна на $1300:
или, което е едно и също нещо
Натрупване на единици за период.
Натрупването за период е функция, която определя бъдещата стойност на обикновен анюитет (т.е. поредица от равни периодични плащания и постъпления на PMT) за n периода при норма на възвръщаемост на капитала i.
Обикновеният анюитет е поредица от равни периодични плащания и постъпления, първото от които се прави в края на следващия период след текущия. Ако плащанията се извършват предварително (в началото на всеки период), говорим за авансов анюитет.
Бъдещата стойност на обикновен анюитет се изчислява по формулата:
където FVA е бъдещата стойност на обикновен анюитет
PMT – стойността на едно от поредица от равни периодични плащания или постъпления
i - норма на дохода;
n - брой периоди;
Фактор в бъдещата стойност на обикновен анюитет.
Необходимо е да се изчисли бъдещата стойност на закупен парцел при отложено плащане за шест месеца и обезщетение от 12% годишно. Плащанията се извършват в края на всеки месец - на равни суми от $ 1000. В този случай бъдещата стойност на парцела ще бъде равна на $ 6152:
или какво е същото
Принос за формиране на компенсационен фонд.
Вноските за формиране на компенсационния фонд са функция, която определя размера на плащанията за обикновен анюитет, чиято бъдеща стойност след n периода, при процент i, е равна на 1.
С други думи, използвайки функцията за принос за формиране на компенсационен фонд, можете да определите размера на равно периодично плащане (редовен доход), необходимо за натрупване на определена сума до края на определен период, като се вземат предвид натрупаните лихви, при определена норма на дохода.
Размерът на равното периодично плащане се изчислява по формулата:
където PMT е сумата на равно периодично плащане;
FV - бъдеща стойност на обикновен анюитет
i - норма на дохода;
n - брой периоди;
Фактор на обезщетителен фонд
SFF(i;n) (коефициент на фонд за възстановяване) е реципрочната стойност на фактора на бъдещата стойност на обикновен анюитет:
Необходимо е да се изчисли размерът на годишните спестявания с цел еквивалентна подмяна на съществуваща сграда, която генерира доход от 14%, при условие че до края на периода на икономически живот (8 години) разходите за подмяна на сграда ще бъде $10 000. В този случай размерът на годишните вноски ще бъде 755,70 Doll.:
Текуща единица (реверсия) стойност.
Настоящата стойност на единица (реверсия) е функция, която определя настоящата стойност на бъдеща единица, която може да бъде получена след n периода при даден процент на възвръщаемост i. Тази функция ви позволява да оцените текущата стойност на дохода, който може да бъде получен от продажбата на обект в края на периода при даден дисконтов процент.
Текущата цена на единица се изчислява по формулата:
където PV е текущата стойност;
FV - бъдеща стойност;
i - норма на доход (отстъпка);
n - период на натрупване (брой периоди);
Фактор на текущата единична стойност (реверсия).
В математически смисъл текущата стойност на единица е реципрочна на функция от нейната бъдеща стойност.
Трябва да изчислите текущата стойност на парцел земя, който ще бъде продаден в края на годината за $ 1000. При дисконтов процент от 10% на година текущата стойност на парцела ще бъде $ 909,09.
Настоящата стойност на обикновен анюитет.
Настоящата стойност на обикновен анюитет е функция, която определя настоящата стойност на поредица от бъдещи равни периодични плащания (постъпления) на PMT за n периода при дисконтов процент i. Изчислението се извършва по формулата:
където PVA е настоящата стойност на обикновен анюитет
PMT - стойността на едно от поредица от равни периодични плащания (постъпления)
i - норма на доход (отстъпка);
n - брой периоди
Фактор в настоящата стойност на обикновен анюитет.
Настоящата стойност на обикновен анюитет може да се определи като сбор от настоящите стойности на всички плащания:
Необходимо е да се определи текущата стойност на наемните плащания, при условие че парцелът е бил нает за три години, за годишен наем от $ 100. Дисконтовият процент е 12%. Тогава текущата цена на плащанията ще бъде $240,18:
Вноска за амортизация на единицата.
Приносът към амортизацията на единица е функция, която определя размера на редовното плащане (получаване), което осигурява доход от капитала и неговата възвръщаемост при дисконтовия процент i за n периода. Амортизационната вноска за единица може да се изчисли по формулата:
където PMT е сумата на плащането за обикновен анюитет;
PV - текуща единична стойност,
i - дисконтов процент (доход);
n - период на натрупване (брой периоди);
Коефициент на принос за амортизация на единица.
Тази функция, както и функцията на приноса към формирането на компенсационния фонд, позволяват да се определи плащането на RMT. Но за разлика от функцията за принос на компенсационния фонд, която се отнася до плащане за натрупване на дадена сума FV, функцията за вноска за амортизация на единица се отнася до плащане, което позволява връщането на текущо определена сума PV. В този случай плащането включва два компонента: първият осигурява доход при даден процент i, вторият осигурява възвръщаемост на капитала при норма на възвръщаемост SFF(i; n) за n периода.
Функцията за амортизационна вноска на единица се използва за определяне на редовни равни (анюитетни) плащания за изплащане на заем, ако той е издаден за определен период при даден лихвен процент по заема. Освен това всяко плащане включва както плащане на главницата на дълга, така и натрупана лихва. Самите плащания са равни по размер и от плащане към плащане съотношението на компонентите на дохода и погасяването се променя (намалява частта, върху която се плаща лихва, и частта, която отива за връщане на главницата, т.е. главницата на лихвата се начислява върху неплатената главница, а лихвеният процент по заема се начислява върху по-малка сума, докато се изплаща.Функцията на приноса към амортизацията на единицата е обратна на функцията на настояща стойност на обикновен анюитет.
Необходимо е да се изчисли размерът на годишния доход, който се натрупва от сграда, която ще се използва в продължение на 5 години, ако текущата й стойност е $10 000 и дисконтовият процент е 15%. При тези условия годишният доход е $2983,16:
или, което е едно и също нещо
Използвайки връзката между факторите на шестте функции на сложната лихва, можем да предложим да представим логиката на тяхното изграждане и икономическия смисъл в таблична форма.
Връзката и икономическото значение на стандартните функции на сложната лихва
Резюме
Теорията за времевата стойност на парите играе важна роля в оценката на недвижимите имоти. С негова помощ се обяснява такъв важен процес за оценка като дисконтирането, отразяващ връзката между понятията текуща стойност, бъдеща стойност, регулярен доход, време и норма на възвръщаемост.
Тази връзка се осъществява чрез използването на 6 функции на сложна лихва, които правят възможно определянето на желаната стойност въз основа на умножаване на известна стойност по съответния фактор, чиято стойност може да бъде изчислена или взета от таблици с 6 функции на сложна интерес. Това значително опростява многобройните изчисления, извършвани по време на оценката.
В основата на финансовата математика са следните шест функции
сложна лихва (или шест функции на парите):
1. Бъдеща единична стойност(натрупана единица сума) – FV ( Бъдеща стойност).
2. Бъдеща стойност на анюитета(натрупване на една единица за период) – FVA ( Бъдеща стойност на анюитета).
3. Фактор на обезщетителен фонд(периодична вноска в спестовния фонд) – SFF ( Фактор на потъващ фонд).
4.Текуща цена на единица(отстъпка, връщане ) – PV ( Настояща стойност).
5.Настояща стойност на анюитета – PVA ( Настояща стойност на анюитета).
6.Единична амортизационна вноска – IAO ( Монтаж на амортизация един).
Тези функции се използват в различни финансови изчисления. Нека разгледаме всяка от тези функции от гледна точка на нейната математическа формулировка и обхват на приложение.
Функции за увеличаване
Бъдеща стойност на парична единица (натрупана сума на единица)
Тази функция ви позволява да определите бъдещата стойност на инвестирана парична единица въз основа на очакваната: норма на възвръщаемост (r), период на натрупване (n) и честота (честота) на начисляване на лихва (m):
FV = PV * (1+ r)n = PV * FM1(r, n),
където FV е бъдещата стойност на парите;
PV – текуща стойност на парите;
r – норма на дохода;
n – брой периоди на натрупване.
FM1(r, n) = (1+ r)n – коефициент на умножение, чиито стойности са изчислени за различни стойности (r) и (n) и са представени в съответните финансови таблици. Понякога се обозначава като FVIF(от английски Лихвен фактор на бъдещата стойност– процентен множител на бъдещата стойност).
Икономическият смисъл на множителя FM1(r, n) е, че той показва на какво ще бъде равна една парична единица след (n) периода при даден лихвен процент (r). Валидността на формулата е очевидна (Фигура 6.7).
Ако се депозира PV сума, след един период на натрупване тази сума ще стане равна на:
FV1= PV + PV * r = PV * (1 + r),
след два периода ще бъде равно на:
FV2= FV1+ FV1* r = FV1* (1+ r) = PV (1 + r)2,
FVn= FVn−1 + FVn−1* r = FVn−1* (1+ r) = PV (1 + r)n.
Фигура 6.7 – Бъдеща стойност на парична единица
Пример.$1000 се инвестират в банката при 10% годишно. Каква сума ще се натрупа в сметката след 5 години? Преобразуваме 10% в относителни единици, за целта ги разделяме на 100% и получаваме 10% / 100% = 0,1.
FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.
Правило 72.Понякога, когато правите изчисления, трябва да се сблъскате с проблема с определянето на броя на периодите на натрупване, след които първоначално депозираната сума се удвоява. Добре известното „Правило 72“ ви позволява да разрешите този проблем много просто, според което броят на периодите, необходими за удвояване на първоначалната сума, се изчислява по формулата:
n=72/r.
Това правило ви позволява да получите точни резултати с r стойности: 3%< r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.
Например,при процент от 6% годишно сумата ще се удвои за 72 / 6 = 12 години.
Лихвата се изчислява по-често от веднъж годишно.Горните изчисления се основават на предположението, че лихвата се начислява веднъж годишно. Натрупването обаче може да се случи не само веднъж годишно, но и по-често, например веднъж на тримесечие, веднъж месечно и т.н. В този случай е необходимо лихвеният процент да се раздели на честотата на натрупване през годината ( m) и броя на годините на натрупване (n), умножен по честотата на натрупване през годината (m). Формулата за изчисление ще изглежда така:
FV = PV (1 + r/m)n*m,
където m е честотата на начисляване на лихвата за година;
n е броят на годините, през които се извършва натрупване.
Колкото по-често се изчислява лихвата, толкова по-голяма е натрупаната сума. Горната трансформация е валидна за всичките шест функции.
6.2.1.2. Бъдеща стойност на анюитета (натрупване на една единица за период)
Тази функция показва каква ще бъде цената на поредица от равни
плащания на стойност (A) след изтичане на установения период за тяхното увеличение (n) (Фигура 6.8).
Фигура 6.8 – Бъдеща стойност на анюитет след нумерандо
От фигура 6.8 става ясно, че бъдещата стойност на първоначалния паричен поток (анюитет) след нумерандо (FVApst) може да бъде оценена като сбор от натрупаните постъпления.
Очевидно бъдещата стойност на последното плащане съвпада със стойността на самото плащане, тъй като без период на изграждане:
Бъдещата стойност на предпоследното плащане ще бъде увеличена за един период и ще бъде:
Всички плащания се увеличават по същия начин. Бъдещата цена на първото плащане ще бъде увеличена за (n-1) периоди и ще бъде:
FVn-1= А·(1+r) n-1.
Тяхната обща сума може да се изрази като:
FVApst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А
Нека извадим (A) от знака на скобата и означим (1+r) с (q). Получаваме израза:
FVA = A·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).
Сега ясно се вижда, че полиномът, съдържащ се в скобите, се нарича коефициент на умножение и се означава с ( FM3(r, n)),представлява сумата от членовете на геометричната прогресия (S), но написана в обратен ред:
S = 1 + q + q2… + qn-2+ qn-1
Умножете двете страни на това уравнение по (q) и получете:
S q = q + q2… + qn-1+ qn
Изваждайки предишното уравнение от полученото уравнение, получаваме:
S·q – S = qn–1.
S = (qn– 1) / (q – 1)
Сега, замествайки неговата стойност (1+r) вместо (q), получаваме формулата за изчисляване на коефициента на умножение:
FM3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r
Следователно изразът за бъдещата стойност на обикновен анюитет на стойност (A) за (n) периода ще бъде:
FVApst = А·FM3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).
Този множител се нарича още процентен множител на бъдещата стойност на анюитета. FVIFA( r , n) – Лихвен фактор на бъдещата стойност на анюитета.Икономическият смисъл на мултипликационния коефициент е, че той показва на какво ще се равнява общата стойност на срочно (за определен период) натрупан анюитет от една парична единица до края на срока му на валидност.
Тъй като стойностите на множителя (FM3(r, n)) зависят само от (r) и (n), те се изчисляват за различни стойности на (r) и (n) и са представени в съответните финансови маси.
Пример.Ако инвестирате $900 годишно в банкова сметка при 10% годишно, колко ще се натрупат след 5 години?
FVA5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59
Сега разгледайте случая на авансов анюитет (Фигура 6.9).
Както в обичайния случай, вземете предвид натрупаните суми в края на първия, втория... н-ти период:
FV1= А·(1+r) ,
FV2= A·(1+r)2,
…………………………………………….……….
FVn= A (1+r)n
FVApre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).
Фигура 6.9 – Бъдеща стойност на авансов анюитет (prenumerando)
Чрез сравняване на формулите за изчисляване на FVApst и FVApre е лесно да се провери, че
FVApre = FVApst (1+ r).
Извършвайки съответното умножение, получаваме:
FVApre = FVApst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =
А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).
Повтарящите се депозити могат да се правят повече от веднъж годишно и съответно лихвата се начислява по-често. В същото време броят на начисленията ще се увеличи с мпъти и ще бъде (n·m), а скоростта ще намалее с мпъти и ще бъде (n/m). Тогава получената по-рано формула ще приеме формата:
FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).
Колкото по-често се правят вноски, толкова по-голяма е натрупаната сума.
Пример.Ако депозирате $75 месечно в банкова сметка при 10% годишно, колко ще се натрупат след 5 години?
FVA5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.
Фактор на обезщетителен фонд
Тази функция ви позволява да изчислите сумата на периодичното плащане (A или SFF, както се нарича в този случай), необходима за натрупване на необходимата сума (FVA) след (n) периоди на плащане при даден лихвен процент (r) (Фигура 6.10).
Фигура 6.10 – Периодична вноска в спестовния фонд
От формулата за бъдещата стойност на анюитет (FVA = A·FM3(r, n)) следва, че стойността на всяко плащане (SFF или A) в случай на обикновен анюитет се изчислява, както следва:
SFFpst = Аpst = FVA / FM3(r, n) = FVA·r/((1 + r)n− 1) = FVA·FM5(r, n) .
където FM5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) е коефициентът на умножаване, чиито стойности са изчислени за различни стойности (r) и (n) и са представени в съответните финансови таблици.
Икономическият смисъл на множителя FM5(r, n) е, че той показва размера на периодичните плащания, необходими за натрупване на една парична единица след (n) периода.
Пример.Трябва да спестите $1000 за 4 години при банкова ставка от 10%. Колко ще трябва да инвестирате всяка година?
SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.
В случай на авансов компенсационен фонд (съответстващ на авансов анюитет), формулата за единично плащане (SFFpre) е:
SFFpre = FVA·r/((1 + r)(n+1)− 1− r).
Дисконтиращи функции
Шест функции на сложната лихва могат да се използват в оценките на недвижими имоти. Натрупаната сума на единицата ви позволява да отговорите на въпроса: „За колко може да бъде продаден имотът въз основа на текущата му пазарна стойност и очаквания растеж на последната с помощта на сложна лихва?“ Натрупването на една единица за период показва как редовните депозити ще растат при сложна лихва. Коефициентът на фонда за възстановяване показва колко пари трябва да се депозират периодично, за да се натрупат $1 за определен брой периоди на комбиниране.Той показва каква трябва да бъде годишната ставка, необходима за възстановяване на инвестицията в даден актив.
Настоящата стойност на единица показва настоящата стойност на парична сума, която трябва да бъде получена наведнъж в бъдеще, като например от очакваната продажба на земя. Анюитетният фактор показва стойността на паричния поток, като доход от имот под наем или плащания по ипотека. Коефициентът на амортизационен принос на единица определя размера на периодичното плащане, необходимо за амортизиране на заема, включително плащанията на лихвата и главницата.
Всяка от шестте функции се основава на сложна лихва, което означава, че цялата главница, съхранявана в депозитната сметка, трябва да носи лихва, включително лихва, оставаща в сметката от предишни периоди. Освен това лихвата се изплаща само върху средствата по депозитната сметка, а не върху изтеглената от нея лихва или главница.
Шестте сложни лихвени функции могат да се използват за решаване на почти всички аритметични проблеми, свързани с оценяването на доходоносни недвижими имоти.
Парите имат времева стойност, т.е. Една рубла, получена днес, струва повече от рубла, получена утре. И не само защото инфлацията може да намали покупателната му способност, но и защото рублата, инвестирана днес, ще донесе конкретна печалба утре. Времевата стойност на парите е важен аспект при вземането на решения във финансовата практика като цяло и при оценката на инвестициите в частност.
Изчисление на базата на сложна (кумулативна) лихва означава, че към нея се добавя натрупаната върху първоначалната сума лихва, а върху вече начислената сума се начислява лихва в следващите периоди. Процесът на натрупване на капитал в този случай протича с ускорение. Описва се с геометрична прогресия. Механизмът за увеличаване на първоначалната сума (капитала) с помощта на сложна лихва се нарича капитализация. Във финансово-икономически план капитализацията се определя като норма на възвръщаемост на инвестирания капитал. При оценката на недвижими имоти и инвестиции този термин придобива малко по-различно значение.
Има годишна капитализация (лихвеното плащане се изчислява и добавя към предварително увеличената сума в края на годината), полугодишна, тримесечна, месечна и дневна. Съществува и понятието непрекъснато компаундиране, което по своето значение е много близко до ежедневното компаундиране.
Изчисляването на натрупаната сума при сложна лихва се извършва по формулата:
плащане в брой наем дълг
където S е натрупаната сума;
P - първоначалната сума, върху която се изчислява лихвата;
i - сложен лихвен процент, изразен като десетична дроб;
n е броят на годините, през които се начислява лихва.
Стойността се нарича множител на сложна лихва. Той показва колко ще се увеличи една парична единица, когато лихвите по нея се увеличават с процент i за n години.
В повечето случаи обаче не се посочва тримесечният или месечният процент, а годишният процент, който се нарича номинален процент. Освен това се посочва броят на периодите (t) на начисляване на лихва за година. След това формулата се използва за изчисляване на натрупаната сума:
където i е номиналният годишен лихвен процент;
t - броят на периодите за изчисляване на лихвата годишно;
n - брой години;
tp - броят на лихвените периоди за целия срок на договора.
Използвайки формули (3.1) и (3.2), извършихме дискретно увеличение на лихвата, т.е. лихвата се начислява годишно, тримесечно или месечно. Непрекъснатото усложняване означава, че лихвата се начислява за възможно най-кратък период от време. Въпреки че се разбира, че този период ще бъде безкрайно кратък, най-точното приближение на непрекъснатото смесване е ежедневното смесване. В този случай може да се използва формула (3.2) за определяне на натрупаната сума. И така, с годишна лихва от 10% и продължителност на годината от 360 дни (подобна продължителност на годината е приета в банковите изчисления в редица страни) с ежедневно начисляване на лихва.
Терминът "сконтиране" се използва много широко във финансовата практика. Може да се разбира като метод за намиране на стойността P в определен момент от време, при условие че в бъдеще, когато върху нея се изчислява лихва, тя може да възлиза на натрупаната сума S. Стойността P, намерена чрез дисконтиране на натрупаната стойност S, се нарича съвременна, текуща или намалена стойност. С помощта на дисконтирането факторът време се взема предвид във финансовите изчисления. Текущата стойност е реципрочната на натрупаната стойност, т.е. Дисконтирането и дисконтовият процент са противоположни на понятията „натрупване“ и „лихвен процент“. Например, ако за една година трябва да получите 1100 рубли от банковия си депозит и банката е натрупала в размер на 10% годишно, тогава текущата стойност на вашия депозит е 1 000 рубли.
Тъй като текущата стойност е реципрочната на натрупаната сума, тя се определя по формулата:
къде е коефициентът на отстъпка. Той показва настоящата стойност на една парична единица, която трябва да бъде получена в бъдеще.
Когато лихвите се изчисляват пъти годишно, текущата стойност се изчислява по формулата:
къде е коефициентът на отстъпка.
При разглеждане на съвременна стойност е необходимо да се обърне внимание на две от неговите свойства. Една от тях е, че лихвеният процент, при който се извършва дисконтирането, и съвременната стойност са в обратна зависимост, т.е. колкото по-висок е лихвеният процент, толкова по-ниска е текущата стойност при равни други условия.
Освен това текущата стойност и срокът на плащане са обратно пропорционални. Тъй като срокът на плащане (n) се увеличава, текущата стойност ще става все по-малка. Границата на стойностите на съвременната стойност (P) със срок на плащане (p), клонящ към безкрайност, ще бъде:
При много дълги срокове на плащане текущата му стойност ще бъде изключително незначителна. Така например, ако някой реши да завещае на своите потомци да получат сума от 50 милиона рубли за 100 години, тогава за това той просто трябва да постави 22,72 хиляди рубли при 8% годишно.
Тъй като стойността t (броят периоди на изчисляване на лихвата) се увеличава, дисконтовият фактор намалява и следователно текущата стойност P намалява.
Междувременно плащането за сключени транзакции може да включва еднократно плащане или серия от плащания, разпределени във времето. Плащане на наем, разсрочено плащане на закупен имот, инвестиране на средства в различни програми и др. в повечето случаи предвиждат плащанията да се извършват на определени интервали, т.е. образува се поток от плащания.
Поредица от последователни фиксирани плащания, извършвани на редовни интервали, се нарича финансов наем или анюитет.
Според момента на плащане на анюитетните членове, последните се делят на обикновени (постнумерандо), при които плащанията се извършват в края на съответните периоди (година, полугодие и др.), и преднумерандо, в които се извършват плащания в началото на тези периоди. Има и анюитети, които предвиждат получаване на плащания в средата на периода.
Общи показатели на рентата са: натрупаната сума и съвременната (текуща, намалена) стойност.
Натрупаната сума е сумата от всички членове на платежния поток с натрупана върху тях лихва в края на срока, т.е. на датата на последното плащане. Натрупаната сума показва колко ще представлява капиталът, когато се внася на редовни интервали през целия срок на анюитета заедно с натрупаната лихва.
Текущата стойност на платежния поток е сумата от всички негови членове, намалена (дисконтирана) с лихвения процент в определен момент от време, съвпадащ с началото на платежния поток или предшестващ го.
Стойността е коефициентът на нарастване на анюитета, който се нарича още коефициент на натрупване на парична единица за периода.
По-рано беше посочено, че някои анюитети се реализират веднага след сключването на договора, т.е. Първото плащане се извършва незабавно, а следващите плащания се извършват на редовни интервали. Такива анюитети (prenumerandos) се наричат още анюитети с аванс или право на плащане. Сумата на членовете на такъв анюитет се изчислява по формулата:
Тоест сумата от условията на анюитета prenumerando е по-голяма от натрупаната сума на анюитета postnumerando с фактор, следователно натрупаната сума на анюитета prenumerando е равна на:
където S е натрупаната постнумерандова сума.
В случаите, когато плащанията се извършват в средата на периодите, натрупаната сума се изчислява по формулата:
където S 0 е натрупаната сума на плащанията, изплатени в края на всеки период (анюитет след нумерандо).
Съвременната стойност на анюитета (наричана още текуща или намалена стойност) е сборът от всички условия на анюитета, дисконтирани към момента на намалението с избрания дисконтов процент. За наем с условия, равни на R, съвременната стойност се изчислява по формулата:
където A е коефициентът на намаление на наема, показващ колко наемни плащания (R) се съдържат в съвременната стойност;
i е годишният лихвен процент, при който се извършва дисконтирането;
n е периодът на наемните плащания.
Тази цифра се нарича още настояща стойност на обикновен анюитет или настояща стойност на бъдещи плащания. Коефициентите за намаление на наема са представени в таблица.
Разходите, свързани с изплащането на дълга, т.е. изплащането на сумата на самия дълг (амортизация на дълга) и плащането на лихва върху него се наричат разходи за обслужване на дълга.
Има различни начини за изплащане на дълга. Страните по сделката ги уговарят при сключване на договора. В съответствие с условията на договора се изготвя план за погасяване на дълга.
Един от най-важните елементи на плана е определянето на броя на плащанията през годината, т.е. изясняване на броя на така наречените спешни плащания и техния размер.
Спешните плащания се считат за средства, предназначени за погасяване както на основния дълг, така и на текущите лихвени плащания по него. В този случай средствата, използвани за погасяване (амортизация) на главния дълг, могат да бъдат равни или да варират според някои закони, а лихвата може да се плаща отделно.
Дългът може да се погасява чрез анюитети, т.е. плащания, извършвани на редовни интервали и включващи както плащане на главница, така и лихва върху нея. Размерът на анюитета може да бъде постоянен или да се променя в аритметична или геометрична прогресия.
По-долу ще разгледаме случая, когато планът е изготвен по такъв начин, че заемът се изплаща в края на всеки период на фактуриране в равни спешни плащания, включително плащане на главницата на дълга и лихвите по него и разрешаване на заема да бъдат напълно погасени в посочения срок. Всяко спешно плащане (Y) ще бъде сумата от две величини: годишните разходи за погасяване на главния дълг (R) и лихвеното плащане по него (I), т.е.
Изчисляването на спешното годишно плащане се извършва по формулата:
където i е лихвеният процент;
n - срок на заема;
D е сумата на дълга.
Стойността се нарича коефициент на погасяване на дълга или приносът към обезценяването на паричната единица. Може да се разглежда и като обратна на сегашната стойност на анюитета, т.е. .
На практика може да се наложи да се знае сумата на непогасената главница за всеки период. Тази стойност се изчислява по формулата:
където k е номерът на периода на фактуриране, в който е извършено последното спешно плащане.
Покупката на недвижим имот в повечето случаи включва получаване на кредит. Поради това е необходимо да знаете предварително колко ще трябва да депозирате за всеки период на плащане, за да сте сигурни, че главницата (с изключение на лихвените плащания) ще бъде изплатена навреме.
За да решим този проблем, използваме формулата:
където R 1 е разходите за погасяване на главния дълг през първия период на плащане;
D е размерът на главния дълг;
n - срок на заема;
i - лихвен процент.
Стойността се нарича фактор на компенсационния фонд. Той показва каква сума ще трябва да бъде депозирана в края на всеки период на плащане, така че основната сума на заема да бъде напълно изплатена в рамките на определен брой периоди.
За да се изчисли сумата, използвана за изплащане на главницата през който и да е период, е необходимо да се умножат коефициентът на компенсационния фонд и множителят на сложната лихва за даден период, т.е.
където k е броят на периодите, за които главният дълг е изплатен.
Разгледахме функциите на сложната лихва, използвайки основната формула, която описва натрупаната сума на единица. Всички разглеждани формули (фактори) се извеждат от основната формула. Всеки от тях предвижда, че парите в депозитната сметка се лихвят само докато остават в тази сметка. Всяка от формулите отчита ефекта на сложната лихва, т.е. тази лихва, която при получаване се превръща в главницата.
Всички горепосочени формули са обобщени в таблица, което улеснява финансовите изчисления. Таблицата има име: „Таблици със сложни лихви. 6 функции на сложна лихва. Включените в таблицата количества са в определена връзка помежду си. По-долу в таблицата. тази връзка е дадена.
Теория на времевата стойност на парите
Според теорията за времевата стойност на парите, една парична единица днес струва повече от тази, получена в бъдеще.
През целия период преди появата на бъдещ доход, паричната единица генерира печалба или нова стойност. Сумата пари, приписана на определен момент от времето, се нарича парични потоци. Основната операция, която ви позволява да сравнявате пари в различно време, е операцията на натрупване и дисконтиране.
Натрупването е процес на определяне на бъдещата стойност.
Дисконтирането е процес на намаляване на паричните потоци от инвестиция до текущата им стойност.
Целият финансов анализ се основава на тези две операции, тъй като паричната единица се счита за капитал.
Проблемите на натрупването най-ясно се илюстрират с примери от областта на кредитните отношения, използвайки формулата за изчисляване на сложната лихва.
Един от основните критерии е лихвеният процент ( аз) е съотношението на нетния доход към инвестирания капитал. В случай на операция по натрупване тази норма се нарича норма на възвръщаемост на капитала. Когато дисконтирането се нарича сконтов процент или сконтов процент.
Паричните суми, получавани (давани) редовно (месечно, тримесечно, годишно) се наричат анюитети – те могат да бъдат прости или авансови, в зависимост от това дали се изплащат в края или в началото на периода.
Рискът е несигурността, свързана с инвестиция, т.е. вероятността прогнозираната възвръщаемост от инвестиция да бъде повече или по-малка от очакваната.
Финансовите изчисления могат да се основават на проста и сложна лихва.
Простата лихва е увеличение на дохода върху инвестирана сума пари при един лихвен процент през целия период.
Сложната лихва е увеличение на дохода върху инвестирана сума пари въз основа на баланса от предходния период от време през срока на инвестицията или заема.
Просто изчисляване на лихвата:
Изчисляване на сложна лихва:
Ф.В.= PV× (1+аз) н (2)
PV– текуща стойност, rub (cu);
Ф.В.– бъдеща стойност, rub (cu);
н– период (срок) на депозита, години (месеци).
Таблица 1 - Получаване на проста и сложна лихва
|
Операции | |||
|
Получени лихви | |||
|
Салдо в края на годината | |||
|
Получени лихви | |||
|
Салдо в края на годината | |||
|
Получени лихви | |||
|
Салдо в края на годината | |||
|
Получени лихви | |||
|
Салдо в края на годината | |||
|
Получени лихви | |||
|
Салдо в края на годината | |||
Разликата в изчисленията за простата и сложната лихва е, че при простата лихва процентът се начислява всеки път върху първоначално инвестирания капитал; при сложната лихва всяка следваща лихва се изчислява в предходния период на сумата, т.е. интерес.
Правило 72:
Използва се за грубо изчисляване на броя години, необходими за удвояване на сумата пари:
н=72 / аз (3)
Има шест функции на сложна лихва:
Натрупана сума валута
Текуща стойност на единица (реверсия)
Натрупване на парична единица за период
Компенсационен фонд
Единична амортизационна вноска
Текуща стойност на анюитета (плащане)
Сега нека разгледаме всяка функция поотделно.
Натрупана сума валута
Икономически смисъл - показва каква сума ще бъде натрупана в сметката до края на определен период при даден процент на доход, ако една парична единица бъде депозирана в сметката днес.
Когато лихвата се изчислява веднъж годишно:
Ф.В.= PV× (1+аз) н (4)
Когато лихвата се изчислява по-често от веднъж годишно:
Ф.В.= PV× (1+аз/ к) н × к (5)
аз- отстъпка, %
н– период (срок) на депозита, години (месец)
к – брой лихвени начисления за година
(1+ аз) н– коефициент на натрупаната сума на дяла с годишна лихва
(1+i/k) н * к– фактор на натрупаната сума на парична единица, когато лихвата се изчислява по-често от веднъж на 1 година.
Задача 1:Определете каква сума ще бъде натрупана в сметката до края на 28,5 години, ако днес поставите 4450 рубли в сметка, която носи 26% годишно. Лихвата се начислява в края на всяко полугодие.
FV = 4450 × (1+0,26/2) 28,5 × 2 = 4 718 796,94 RUB
Текуща цена на единица
Икономически смисъл - показва каква е текущата стойност при даден дисконтов процент на една парична единица, получена в края на определен период от време.
Определя се по формулите:
(6)
(7)
1/(1+ аз) н– коефициент на текущата цена на дяла с годишна лихва;
1/(1+ аз/ к) н × к– коефициент на текущата цена на единица с лихва, която се изчислява по-често от веднъж годишно.
Задача 2:Определете текущата стойност от 3100 рубли, която ще бъде получена в края на 9-та година при дисконтов процент от 9%. Лихвата се начислява всеки ден.
PV= 3100×1/(1+0,09/365) 9×365 = 1379,20 RUB
Натрупване на парична единица за период
Икономическо значение - показва каква сума ще се натрупа в сметката при даден курс, ако една парична единица редовно се депозира в сметката за определен период от време.
Бъдеща стойност на обикновен анюитет:
(8)
(9)
Бъдеща стойност на авансов анюитет:
(10)
(11)
PMT – равни периодични плащания, rub;
((1+ аз) н - 1) / аз– фактор на натрупване на парична единица за период
Задача 3:Определете сумата, която ще бъде натрупана в сметка с доходност от 34% годишно до края на 49-ия месец, ако внасяте 6300 рубли в сметката месечно. плащанията се извършват: а) в началото на месеца; б) в края на месеца.
а)
б)
Образуване на компенсационен фонд
Икономическо значение - показва колко трябва да се депозират редовно в сметката за определен период от време, за да има една парична единица в сметката в края на този период при даден процент на доход.
Определя се по формулите:
(12)
(13)
аз / (1+ аз) н -1 – фактор на компенсационния фонд.
Задача 4:Определете какви плащания трябва да бъдат, за да имате 78 000 рубли в сметката, която да печели 8% годишно до края на 9-та година. плащанията се извършват: а) в края на всяко полугодие; б) в края на всяко тримесечие.
а) 
б) 
Амортизационна вноска
Икономическо значение - показва какви анюитетни плащания трябва да бъдат за изплащане на заем от една парична единица, издадена при определен лихвен процент за определен период.
Определя се по формулите:
(14)
(15)
– коефициент на амортизационен принос;
Задача 5:Заем в размер на 345 000 рубли е издаден за 29 години при 18% годишно. Определете размера на анюитетните плащания. Заемът се погасява в края на всеки месец.
Настояща стойност на анюитета
Икономическо значение - показва каква е настоящата стойност при даден дисконтов процент на поредица от плащания на една парична единица, получени за определен период.
Определя се по формулите:
1. Обикновен анюитет:
(16)
(17)
2. Авансов анюитет:
(18)
(19)
PV- действително плащане, rub;
PMT- редовно периодично плащане, rub;
аз - отстъпка, %;
к- брой начисления за година (период);
н– период (срок) на депозита, години (месец);
– фактор на настоящата стойност на обикновен анюитет;
– фактор на настоящата стойност на авансовия анюитет
Задача 6:Договорът за наем на апартамента е сключен за 24 месеца. Определете текущата стойност на лизинговите плащания при 8% дисконтов процент. Наем 2550 рубли на месец. При условия:
а) Наемът се плаща в началото на тримесечието;
б) Наемът се плаща в края на всяко тримесечие.
Решение:
а) 
б) 
Същността на оценката на стойността на предприятие, генериращо печалба, е, че се определя текущата стойност на печалбата, която ще бъде получена в прогнозния период. Стойността на текущата стойност на печалбата не съответства на стойността на бъдещата печалба, тъй като една гривна, получена утре, струва по-малко от една гривна, получена днес. Това се дължи главно на две причини. Първо, парите генерират доход с течение на времето; второ, инфлационните процеси обезценяват рублата. В тази връзка, за да се определи текущата стойност на утрешната гривна, е необходимо да се извършат подходящи изчисления.
За да се определи стойността на имот, който ще генерира доход, е необходимо да се определи настоящата стойност на парите, които ще бъдат получени в даден момент в бъдещето.
Известно е, а в условията на инфлация е много по-очевидно, че парите променят стойността си във времето. Основните операции, които правят възможно сравняването на парите в различни моменти, са операциите на натрупване (увеличаване) и дисконтиране.
Спестяването е процесът на привеждане на сегашната стойност на парите до бъдещата им стойност, при условие че инвестираната сума се държи в сметка за определено време, печелейки периодично сложна лихва.
Дисконтирането е процес на намаляване на паричните потоци от инвестиция до текущата им стойност.
При оценката тези финансови изчисления се основават на сложен процес, при който всяко следващо изчисление на лихвения процент се извършва както върху главницата, така и върху неплатената лихва, натрупана за предходни периоди.
Разглеждат се общо шест функции на паричната единица, основана на сложна лихва. За опростяване на изчисленията са разработени таблици с шест функции за известни нива на доход и период на натрупване (I и n); в допълнение можете да използвате финансов калкулатор, за да изчислите необходимата стойност.
1 функция: Бъдеща стойност на парична единица (натрупана сума на парична единица), (fvf, i, n).
Ако начисляването се извършва по-често от веднъж годишно, тогава формулата се преобразува в следното:
k е честотата на натрупванията за година.
Тази функция се използва, когато текущата стойност на парите е известна и е необходимо да се определи бъдещата стойност на парична единица при известна норма на дохода в края на определен период (n).
Правило на 72x
За приблизително определяне на периода за удвояване на капитала (в години) е необходимо 72 да се раздели на целочислената стойност на годишната норма на възвръщаемост на капитала. Правилото важи за ставки от 3 до 18%.
Типичен пример за бъдещата стойност на парична единица би бил проблем.
Определете каква сума ще се натрупа в сметката до края на 3-тата година, ако днес поставите 10 000 рубли в сметка, която носи 10% годишно.
FV=10000[(1+0.1)3]=13310.
Функция 2: Текуща стойност на единицата (текуща стойност на реверсия (препродажба)), (pvf, i, n).
Текущата стойност на единица е обратната на нейната бъдеща стойност.
Ако лихвата се изчислява по-често от веднъж годишно, тогава
Функция 3: Текуща стойност на анюитета (pvaf, i, n).
Анюитетът е поредица от равни плащания (постъпления), отдалечени едно от друго на същия период от време.
Има обикновени и авансови анюитети. Ако плащанията се извършват в края на всеки период, тогава анюитетът е обикновен, ако в началото, това е авансов анюитет.
Формулата за настоящата стойност на обикновен анюитет е:
PMT - равни периодични плащания. Ако честотата на начисленията надвишава 1 път годишно, тогава
Формула за настоящата стойност на авансов анюитет:
5 функция: Принос към амортизацията на паричната единица (iaof, r, n)
Функцията е реципрочната стойност на настоящата стойност на обикновен анюитет (функция 3). Приносът към амортизацията на парична единица се използва за определяне на размера на анюитетното плащане за изплащане на заем, издаден за определен период при даден лихвен процент.
Амортизацията е процес, определен от тази функция, който включва лихва по заема и плащане на главницата.
За плащания, извършвани по-често от веднъж годишно, се използва следната формула:
6 функция: Фактор на компенсационния фонд (sff, i, n)
Тази функция е обратна на функцията за натрупване на единица за период. Коефициентът на фонда за възстановяване показва анюитетното плащане, което трябва да бъде депозирано при определен процент в края на всеки период, за да получите необходимата сума след определен брой периоди.
За определяне на размера на плащането се използва формулата:
За плащания (разписки), извършвани по-често от веднъж годишно:
основната формула на сложната лихва (1 + i)t, характеризираща натрупаната сума на дяла. И петте функции на сложната лихва са производни на първата (пряка) функция на сложната лихва: функцията на натрупаната единица (бъдещата стойност на единицата). Всяка от тези функции предполага, че депозираните пари ще носят лихва, докато остават там. Всеки фактор се основава на ефекта на сложната лихва, при която получената лихва се прехвърля към главницата.
Важна връзка между функциите на сложната лихва е следната: сумата от фактора на компенсационния фонд (колона 3) и периодичната лихва (i) е равна на амортизационната вноска от един долар. Тази връзка показва, че амортизационната вноска за единица е сумата от двата елемента, както е отбелязано по-горе. Един елемент е лихвата (възвръщаемост на инвестицията); второто е възстановяване на капиталови инвестиции (възвръщаемост на инвестиционни средства). Чрез изчисляване на плащанията по заема въз основа на такса за амортизация в долари, кредитополучателят изплаща главницата на заема плюс лихвата за целия срок на заема. Ако се плаща само лихва, кредитополучателят натрупва главницата в отделна сметка въз основа на стойностите на коефициента на възстановяване. Като се има предвид, че фондът за възстановяване печели лихва със същата ставка като заема, в края на срока на заема остатъкът от фонда за възстановяване се използва за изплащане на непогасената главница на заема.
Така амортизационната вноска от един долар (колона 6) винаги надвишава периодичния лихвен процент, независимо от срока на заема.
По същия начин настоящата стойност на обикновен анюитет (колона 5) никога не надвишава фактора, равен на частното от 1 долар, разделено на периодичния лихвен процент.